1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 16
 17
 18
 19
 20
 21
 22
 23
 24
 25
 26
 27
 28
 29
 30
 31
 32
 33
 34
 35
 36
 37
 38
 39
 40
 41
 42
 43
 44
 45
 46
 47
 48
 49
 50
 51
 52
 53
 54
 55
 56
 57
 58
 59
 60
 61
 62
 63
 64
 65
 66
 67
 68
 69
 70
 71
 72
 73
 74
 75
 76
 77
 78
 79
 80
 81
 82
 83
 84
 85
 86
 87
 88
 89
 90
 91
 92
 93
 94
 95
 96
 97
 98
 99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using sz = size_t;
using namespace std;

// make the code less c++-readable:
template<class T> using v = vector<T>; 
template<class T> using vv = v<v<T>>; 
using vi = v<int>; using vll = v<ll>; using vvi = vv<int>; using vvll = vv<ll>;

// hai loading utilities
#define $T template<class T>
#define $Ts template<class... T>
$T T Load() { T v; cin >> v; return v; }
$T auto Loads(int n) { v<T> v; v.reserve(n); while(n--) v.emplace_back(Load<T>()); return v; }
$T auto Loads() { return Loads<T>(Load<int>()); }
template<class T, int N> auto Loada() { array<T, N> a; for (T& v: a) v = Load<T>(); return a; }
$Ts auto Cols(int rows) { tuple<v<T>...> t; while(rows--) [&]<sz... I>(index_sequence<I...>){(std::get<I>(t).push_back(Load<T>()), ...);}(index_sequence_for<T...>{}); return t; }
//$Ts auto Rows(int rows) { v<tuple<T...>> v; while(rows--) { v.emplace_back(Load<T>()...); } return v; } bugged :(
struct _aIV { $T operator vector<T>() { return Loads<T>(n); } sz n; };
struct _aI { $T operator T() { return Load<T>(); } _aIV operator()(sz n) { return {n}; } }; static inline _aI $;  /* int N = $;  vi Y = $(N); */
#define MAKE_LOADER(T, alias) \
  T alias() { return Load<T>(); }   /* int x = Int(); */\
  auto alias##s() { return Loads<T>(); }   /* vector<> xs = Ints(); */\
  auto alias##s(int n) { return Loads<T>(n); }   /* vector<> xs = Ints(7); */\
  template<int N> auto alias##a() { return Loada<T, N>(); }   /* array<> xs = Inta<7>();  */\
// line intentionally left blank
MAKE_LOADER(int, Int)
MAKE_LOADER(long long, LL)
MAKE_LOADER(char, Char)
MAKE_LOADER(string, String)
// kthxbye


// Taki dugi kod. Oby był wart choć jednego punkta!

constexpr static ll M = 2*2*2*2*3*3*5*7*11*13*17;

struct Stan {
    ll czas;
    vector<bool> wyspani;
    vector<pair<ll, ll>> przedział; // aktualny
    vector<int> poz_kolejki; // dostępności, następne do pobrania
};

bool Rozważ(Stan s, const vector<vector<pair<ll, ll>>>& dost, ll spanko/*, string pref=""*/) {
    const int N = dost.size();
    
    while (true) { // rec
    
    //cerr << pref << "Rozważam, czas = " << float(s.czas)/M << endl;
    
    while (true) {
        bool postęp = false;
        //cerr << pref << "..." << endl; 
        
        // Warunek końca:
        bool wszyscy_wyspani = true;
        for (int j = 0; j < N; ++j) {
            if (!s.wyspani[j]) {
                wszyscy_wyspani = false;
                break;
            }
        }
        if (wszyscy_wyspani) {
            //cerr << pref << "wszyscy wyspani" << endl;
            return true; // bo zakładamy zapewnialność opieki
        }
    
        
        // Osoby wyspane nadają opiekę:
        for (int j = 0; j < N; ++j) {
            if (!s.wyspani[j]) continue;
            
            while (s.poz_kolejki[j] < dost[j].size()) {
                const auto& pr = dost[j][s.poz_kolejki[j]];
                if (pr.second <= s.czas) { // to już minęło
                    ++s.poz_kolejki[j];
                    continue;
                } 
                if (pr.first <= s.czas) { // akurat
                    s.czas = max(s.czas, pr.second);
                    ++s.poz_kolejki[j];
                    //cerr << pref << "owno" << j << endl;
                    postęp = true;
                    continue;
                }
                break; // to dopiero będzie
            }
        }
        
        // Osoby niewyspane pobierają nowe przedziały
        for (int j = 0; j < N; ++j) {
            if (s.wyspani[j]) continue;
            
            while (s.przedział[j].second <= s.czas) { // w przeszłości!
                //cerr << pref << j << " ma przedział w przeszłości!  [" << float(s.przedział[j].first)/M << ", " << float(s.przedział[j].second)/M << ")" << endl;
                // Uznajemy spanie dawne
                if (s.przedział[j].second-s.przedział[j].first >= spanko) {
                    s.wyspani[j] = true;
                    s.przedział[j] = {0, 0}; // na wszelki wypadek
                    //cerr << pref << "pnpnp" << j << endl;
                    postęp = true;
                    break;
                }
                s.przedział[j] = {0, 0}; 
                
                // pobierzmy następny!
                if (s.poz_kolejki[j] == dost[j].size()) {
                    //cerr << pref << j << "nie ma się kiedy wyspać" << endl;
                    return false; // on już się nie ma kieedy wyspać :(
                }
                s.przedział[j] = dost[j][s.poz_kolejki[j]];
                ++s.poz_kolejki[j];
            }
            if (s.wyspani[j]) continue; // wyspał się, wróćmy do początku z nim.
            
            // Uznanie spania z przedziału aktualnego
            if (s.czas - s.przedział[j].first >= spanko) {
                s.wyspani[j] = true;
                s.czas = max(s.czas, s.przedział[j].second);
                s.przedział[j] = {0, 0};
                //cerr << pref << "uszpa" << j << endl;
                postęp = true;
                continue;
            }
            
            // potencjalnie przedłuża opiekę (jeśli ciut za krótki)
            if (s.przedział[j].first <= s.czas && s.przedział[j].second - s.przedział[j].first < spanko) {
                s.czas = max(s.czas, s.przedział[j].second);
                s.przedział[j] = {0,0};
                //cerr << "ppo" << j << endl;
                postęp = true;
                continue;
            }
        }
        
        if (!postęp) break;
    }
    
    // Najbliższe ciekawe wydarzenie: (potencjał do wyspania, albo nowa os.)
    ll dalej_nowość = 999999999999999999LL;
    ll dalej_wyspanko = 999999999999999999LL;
    //cerr << pref << "T = " << float(s.czas) / M << endl;
    for (int j = 0; j < N; ++j) {
        if (s.wyspani[j]) {
            //cerr << pref << j << ". wyspany" << endl;
            
            // nowy przedział potencjalnej zmiany opieki
            if (s.poz_kolejki[j] < dost[j].size()) {
                dalej_nowość = min(dalej_nowość, dost[j][s.poz_kolejki[j]].first);
            }
            //continue;
        } else {
            //cerr << pref << j << ". [" << float(s.przedział[j].first)/M << ", " << float(s.przedział[j].second)/M << ")" << endl;
            if (s.przedział[j].first > s.czas) {
                dalej_nowość = min(dalej_nowość, s.przedział[j].first);
            }
        }
        if (s.wyspani[j]) continue;
        if (s.przedział[j].first + spanko == s.czas)
            assert(false);
        dalej_wyspanko = min(dalej_wyspanko, s.przedział[j].first + spanko);
    }
    ll dalej = min(dalej_nowość, dalej_wyspanko);
    
    //cerr << pref << "czas: " << float(s.czas)/M << "; dalej: " << float(dalej)/M << endl;
    //cerr << pref << "w tym nowość: " << float(dalej_nowość)/M << ", wyspanko: " << float(dalej_wyspanko)/M << endl;
    
    // Kto może sprawować opiekę?
    vector<int> kto;
    for (int j = 0; j < N; ++j) {
        if (s.wyspani[j]) continue;
        if (s.przedział[j].first <= s.czas && s.przedział[j].second >= dalej) {
            kto.push_back(j);
        }
    }
    
    if (kto.size() == 0) return false;
    else if (kto.size() == 1) {
        //cerr << "TAILREC!" << endl;
        s.czas = dalej_nowość;
        s.przedział[kto[0]].first = dalej_nowość;
        continue;
        //return Rozważ(s, dost, spanko, pref + " ");
    } else {
        for (int j : kto) {
            //cerr << pref << "może " << j << " ? " << endl;
            
            Stan ss = s;
            ss.czas = dalej;
            ss.przedział[j].first = dalej;
            
            bool czy = Rozważ(move(ss), dost, spanko/*, pref + "\t"*/);
            if (czy) return true;
            
            //cerr << czy << endl;
        }
    }
    return false;
    
    } // rec
    
    assert(false);
}

bool CzyDaSięSpać(const vector<vector<pair<ll, ll>>>& dost, ll spanko) {
    if (spanko == 0) return true;
    
    //cerr << float(spanko)/M << '?' << endl;
    Stan s;
    s.czas = 0;
    s.wyspani.resize(dost.size(), false);
    s.przedział.resize(dost.size(), {0, 0});
    s.poz_kolejki.resize(dost.size(), 0);
    
    return Rozważ(s, dost, spanko);
}

void test() {
    static int linia = 2;
    cerr << "Lno: " << linia << endl;
    
    const int N = $;
    const ll L = $;
    
    
    linia += 1 + N;
    
    
    const auto rozkład = Strings(N);
    
    // Czy wgl się da?
    for (int i = 0; i < L; ++i) {
        bool ktoś = false;
        for (int j = 0; j < N; ++j)
            if (rozkład[j][i] == '.') {
                ktoś = true;
                break;
            }
        if (!ktoś) {
            cout << "-1" << endl;
            return;
        }
    }
    
    // Konstrukcja przedziałów dostępności:
    vector<vector<pair<ll, ll>>> dostępność(N);
    for (int j = 0; j < N; ++j) {
        ll od = -1;
        for (int i = 0; i < L; ++i) {
            if (rozkład[j][i] == 'X') {
                if (od != -1)
                    dostępność[j].emplace_back(od * M, i * M);
                od = -1;
            } else {
                if (od == -1)
                    od = i;
            }
        }
        if (od != -1)
            dostępność[j].emplace_back(od * M, L * M);
    }
    
    
    
    //CzyDaSięSpać(dostępność, 11 * M / 1);
    //return;
    
    // Szukamy taką wartość, że tyle najwyżej da się spać.
    ll mini = 0, maxi = L*M;
    while (mini < maxi) {
        ll mid = (mini+maxi+1) / 2;
        if (CzyDaSięSpać(dostępność, mid)) {
            mini = mid;
        } else {
            maxi = mid-1;
        }
    }
    
    ll li = mini;
    ll mi = M;
    ll g = gcd(li, mi);
    li /= g;
    mi /= g;
    cout << li << '/' << mi << endl;
}


[[maybe_unused]] void jeden_test() { test(); }
[[maybe_unused]] void wiele_test() { int T = $; while (T--) test(); }

int main() {
#ifdef MULTI
    wiele_test();
#else
    jeden_test();
#endif
    return 0;
}