Gdzie można znaleźć listę dozwolonych bibliotek c++, oraz czy należy do nich vector oraz string?

Te dwie na pewno należą, ale pełna lista nie wiem gdzie się znajduje.

Na olimpiadzie używany jest kompilator GNU GCC w wersji 8.3, kompilacja przebiega zgodnie z flagą -std=c++17. Oznacza to, że dostępne są biblioteki implementowane przez system (np. stdio.h, stdlib.h), biblioteki języka C++ (m.in. string, vector, list, a także np. nowe w C++17 optional) oraz biblioteki niestandardowe będące rozszerzeniem kompilatora GNU GCC (rzeczy w bits/ i ext/)

Czy biblioteka 'cmath' jest dozwoloną biblioteką w c++?

Tak - w C++ zaleca się używanie nagłówków <cmath> zamiast <math.h> z biblioteki C, chociaż skompilowałoby się w obu przypadkach.

"pełną listę funkcji" można znaleźć na przykład tu: <https://en.cppreference.com/w/> (rzeczy oznaczone C++17 lub mniej)